לאחר עבודה עם מאות תלמידים ב-17 השנים האחרונות, גיליתי שילדים הם בדרך-כלל הרבה יותר חכמים ממה שנדמה לנו.
כשאנחנו מתייחסים אל הילד כאל אדם משכיל ואנחנו יוצאים מנקודת הנחה שהוא מסוגל להבין, כשאנחנו לא מפחדים להסביר לו את ההיגיון בדברים וכשאנחנו מנסים להפוך אותו לשותף אמיתי למחקר, ולא לתוכי שרק צריך לשנן נוסחאות - אנחנו מקבלים נכונות ללמוד ושיתוף פעולה מדהימים!
להלן הצעה לדרך מוצלחת להצגת נושא הגיאומטריה בפני תלמידים.
גיאומטריה היא תחום קרוב מאוד לתחום החשבון, ושניהם הם ענפים של המתמטיקה.
חשבון עוסק במספרים. הוא עוסק בחישובים איתם ובפעולות עליהם.
גיאומטריה היא תחום העוסק בצורות, בגדלים, במידות, במדידות וכו' – בשרטוט שלהם, במדידה שלהם, בהוכחת טענות הקשורות אליהם ועוד.
המילה גיאומטריה מקורה במילים היוונית: "גאו" (אדמה) + "מטרון" (מדידה).
כלומר המשמעות המילולית של המילה "גיאומטריה" היא "מדידת האדמה".
מכאן אנחנו יכולים להבין שבמקור שימש מדע הגיאומטריה למדידת חלקות אדמה.
ניתן לבקש מהתלמידים לתת דוגמאות לשימושים כאלה - כגון מדידת אורכה של גדר שתקיף בית, מדידת אורכו של שביל שיחבר בין שתי נקודות במרחב (לאו דווקא שביל ישר), מדידת גובהו של מגדל וכו'.
כעת, ניתן לעבור עם התלמידים על הנושאים הבאים:
מהן צורות?
צורה היא אוסף של נקודות במישור או במרחב. יש אפשרויות אינסופיות לסדר את הנקודות הללו וכך יכולות להיווצר אינספור צורות בעלות מאפיינים שונים ומשונים.
האם גם צורה זו היא משולש? לא, היא אינה משולש. יש לה שם אחר.
בהמשך נראה איך קוראים לה.
יש גם צורות שהן הרבה יותר מסובכות.
למשל:
איך קוראים לצורה כזאת?
יש לה שם מוזר. קוראים לה פְרַקטָל. זה השם שלה.
(פרקטל – צורה מיוחדת מאוד, שאם לוקחים חלק ממנה ומגדילים אותו, מגלים שהוא דומה לכל חלק אחר של הצורה כשהיא מוגדלת או מוקטנת).
יש המון סוגים של פרקטלים, כמו שיש המון סוגים של משולשים. זה פשוט סוג אחר של צורות.
כדי להסביר מהן צורות צריך להתחיל מהדבר הקטן ביותר שממנו מורכבת צורה.
הדבר הקטן הזה נקרא נקודה.
קחו טוש עבה וציירו איתו נקודה. היא תראה בערך כך: ●
כעת קחו טוש דק יותר וציירו גם איתו נקודה. היא בטח תהיה בערך בגודל הזה: •
עכשיו קחו עיפרון וציירו גם איתו נקודה, תוודאו רק שהעיפרון באמת מחודד. הנקודה בטח תראה כמו הנקודה הזאת: ∙
כל פעם הצלחנו לצייר נקודה שהיא יותר ויותר קטנה.
האם יש גבול לכמה קטנה יכולה להיות הנקודה הזאת?
כאן נכנס ההבדל בין משהו מציאותי לבין משהו תיאורטי.
משהו מציאותי הוא משהו שקיים באמת, שאנחנו יכולים לראות אותו או לשמוע אותו או להרגיש אותו באחד החושים שלנו.
כשאומרים על משהו שהוא "תיאורטי" מתכוונים לכך שאנחנו יכולים לחשוב עליו או לדמיין אותו ולהבין אותו בדרך כלשהי, אבל מתכוונים גם שהוא לא בהכרח אמיתי.
למשל מעלית מכאן אל הירח היא משהו תיאורטי. אנחנו יכולים לדמיין שמשהו כזה קיים, אבל אולי יעברו עוד כמה שנים עד שמישהו יצליח לבנות דבר כזה.
אז נחזור אל הנקודה שניסינו לצייר.
במציאות, יש גבול לכמה קטנה נוכל לצייר את הנקודה שלנו, נכון?
הרי כמה כבר אפשר לחדד את העיפרון?
אבל באופן תיאורטי אין גבול לכמה קטנה יכולה הנקודה להיות.
ובאופן תיאורטי, לא משנה כמה הנקודה שנעשה תהיה קטנה, תמיד אפשר יהיה לעשות נקודה שהיא עוד יותר קטנה ממנה.
הרי גם אם ממש נחדד את העיפרון, ורק ניגע איתו בדף ומייד נרים אותו, עדיין תצא לנו נקודה שאם נסתכל עליה בזכוכית מגדלת או במיקרוסקופ נראה שגם היא בעצם די גדולה, ושאנחנו יכולים לחלק אותה לשתי נקודות שהן אפילו עוד יותר קטנות.
(מיקרוסקופ – מכשיר שאפשר בעזרתו לראות דברים זעירים, כאילו הם היו גדולים).
קצת קשה אולי לחשוב על זה. זה דורש מאמץ מסוים כדי לדמיין את זה.
נסו לדמיין נקודה, ואז דמיינו נקודה שהיא עוד יותר קטנה ממנה, ואז נקודה שהיא עוד יותר קטנה ממנה, ואז עוד נקודה שהיא אפילו עוד יותר קטנה מהנקודה האחרונה שדמיינתם. יש לזה גבול? אני לא חושב...
ובאמת, אנשים ראו שאי אפשר בעצם להגדיר גודל של נקודה, כי בכל פעם שהם ציירו נקודה, תמיד היה מישהו בא והורס להם את כל הכיף, ואומר להם שזאת בכלל לא נקודה, אלא כמה נקודות יחד...
ואז הם היו מציירים נקודה קטנה אפילו יותר, אבל אז היה מגיע מישהו עם מיקרוסקופ ממש משוכלל, ומסתכל על הנקודה החדשה שלהם ואומר להם שוב שהנקודה שלהם מורכבת בעצם מכמה נקודות קטנות...
אז הם כבר התייאשו לגמרי והחליטו שלנקודה אין בכלל גודל!
הם החליטו שנקודה היא פשוט מקום שאין בו כלום, אבל בכל זאת יש שם נקודה...
מבלבל? גם אני חושב, אבל הם לא הצליחו לצאת מהתסבוכת בשום דרך אחרת!
אז נקודה היא בעצם משהו שאין לו גודל. אין לו גובה, אורך או עובי. נקודה היא פשוט מיקום במישור או במרחב. הגודל של נקודה הוא בעצם אפס, אבל בכל זאת היא נמצאת בדיוק שם.
כעת הסתכלו על הקו הבא:
מכמה נקודות הוא מורכב?
מאה? אלף? חמש מאות מיליון ושתיים?
האמת היא שהוא מורכב מאינסוף נקודות!
אינסוף... מה זה אומר?
בוא נחשוב רגע מה זה אינסוף.
אפשר להגיד שאינסוף זה המספר הכי גדול שקיים... אפשר להגיד שאינסוף זה משהו שאין לו גבול, שאין לו סוף.
קצת קשה לדמיין מה זה אינסוף. חישבו שאתם כותבים מספר, ואז מספר יותר גדול, ואז מספר שהוא עוד יותר גדול, ועוד יותר גדול... אין לזה סוף, נכון? תמיד אפשר יהיה לכתוב מספר שהוא יותר גדול.
ובאמת למספרים אין סוף.
יש אנשים שחושבים שגם לחלל אין סוף, ושאפשר לטוס רחוק, עוד ועוד ולעולם לא להגיע לאיזשהו סוף. אולי זה נכון.
בחשבון נוהגים לסמן אינסוף בסימן הזה:
זה כמו 8 ששוכב על הצד.
אז בוא נחזור אל הקו שלנו:
אמרנו שהוא מורכב מאינסוף נקודות.
הרי אם לנקודה אין בכלל גודל, אז לא משנה כמה נקודות נצייר על הקו, תמיד נוכל להוסיף עוד ועוד נקודות.
ואכן קו מורכב מאינסוף נקודות.
יש כל מיני סוגים של קווים.
הסוג הראשון הוא הקו הישר (או פשוט "ישר").
ישר הוא משהו שאין לו התחלה ואין לו סוף. הוא בלתי מוגבל באף אחד משני קצוותיו.
אפשר לצייר אותו בצורה כזאת:
הקִווקוּוים בקצות הקו הם סימן לכך שאנחנו רואים רק חלק קטן מהקו ושהוא בעצם ממשיך עד אינסוף גם ימינה וגם שמאלה.
הוא נקרא פשוט ישר.
לישר אין "עובי". הוא פשוט נמתח לשני הכיוונים, אבל כמו שהגודל של נקודה הוא 0, ככה העובי של הישר התיאורטי הוא 0.
תרגיל:
כמה ישרים ניתן להעביר דרך נקודה אחת?
(אינסוף כמובן)
כמה ישרים ניתן להעביר דרך שתי נקודות?
(אחד בלבד)
כעת, ייתכן קו ישר שיש לו התחלה, אבל אין לו סוף. הוא ייראה ככה:
לקו כזה קוראים קרן. לקרן יש התחלה (שמסומנת על-ידי הנקודה השחורה בשרטוט) אבל אין לה סוף והיא ממשיכה עוד ועוד, חוצה את כל העולם ועדיין ממשיכה...
ויש קו ישר שיש לו גם התחלה וגם סוף. הוא נראה ככה:
לקו כזה קוראים קטע.
הנקודות בקצה הקרן ובשני הקצוות של הקטע נמצאות שם רק כדי לסמן שיש שם התחלה או סוף. לא חייבים לצייר אותן.
קו יכול להיות עקום:
או שבור:
חשוב לציין שקו שבור הוא קו המורכב ממספר קטעים המחוברים זה לזה בשרשרת. הקו הזה, למשל, לא נקרא "קו שבור":
הערה:
ניתן לחלק קווים בחלוקה נוספת - לקווים פשוטים ולקווים שאינם פשוטים.
קווים פשוטים הם קווים שאינם חותכים את עצמם.
הנה כמה דוגמאות לקווים פשוטים:
והנה כמה דוגמאות לקווים שאינם פשוטים:
נמיין את הקווים הפשוטים לקווים סגורים ולקווים פתוחים:
קו שמתחיל בנקודה אחת ומסתיים בנקודה אחרת נקרא קו פתוח, כמו למשל:
קו שמתחיל ומסתיים באותה נקודה נקרא קו סגור, כמו למשל:
אפשר לקבל שילובים שונים כגון קו שבור ופתוח:
או קו עקום וסגור:
או קו שבור סגור:
או קו עקום ופתוח:
תרגיל:
לבקש מהתלמידים לצייר כל אחד מהסוגים השונים של קווים.
לבקש מהתלמידים לבנות באמצעים שונים קווים מסוגים שונים (באמצעות שרטי נייר, כלי כתיבה, פלסטלינה וכו').
תרגיל:
קו סגור מחלק את המישור לשני איזורים נפרדים - בתוך הקו הסגור ומחוצה לו.
לצייר קווים סגורים - ולבקש מהתלמידים לשים חפצים בתוך הקו הסגור ואז מחוץ לקו הסגור.
תרגיל נוסף:
יש דרך לבדוק האם קו הוא פתוח או סגור על-ידי כך שנבדוק אם ניתן לחבר בקו כל שתי נקודות במישור מבלי לחתוך את הקו המקורי.
אם הקו הוא סגור, אזי ניתן לבחור נקודה אחת בתוכו ואחת מחוצה לו - ואז לא ניתן לחבר את שתיהן בקו זו לזו מבלי לחתוך את הקו הסגור:
אם הקו הוא פתוח - אז תמיד יימצא קו שניתן בעזרתו לחבר כל שתי נקודות שנבחר במישור, מבלי לחתוך את הקו הפתוח המקורי:
אשמח לשמוע עוד עצות וטיפים בנושא:
בברכה,
דודו בורשטיין הוצאת חשיב
ת.ד. 8202, ת"א-יפו www.hashiv.co.il 077-7653122
