דבר ראשון – בואו נבהיר את המילה פונקציה כפי שמשתמשים בה במתמטיקה.
למילה עצמה יש בעברית (ובשפות אחרות) משמעויות רבות.
בשפה עצמה, כשאומרים שדבר X הוא פונקציה של דבר Y, מתכוונים לכך שיש קשר או תלות בין שני הדברים.
כלומר פונקציה היא ביטוי לקשר בין שני דברים.
(בהמשך נראה הגדרה מדויקת יותר).
אפשר להשתמש במילה פונקציה במשפטים כמו: "ההצלחה שלי במבחן היא פונקציה של ההשקעה שלי בלימודים". כלומר, ההצלחה שלי במבחן תלויה בהשקעה שלי בלימודים (מן הסתם – ככל שאשקיע יותר, כך אצליח יותר).
כאן כדאי לבקש מהתלמידים לתת אחד לשני דוגמאות רבות לשימוש במילה "פונקציה", ולבקש מכל תלמידים לחבר לפחות 10 משפטים עם המילה "פונקציה".
כדאי לבקש מהתלמידים לתת דוגמאות לשאר הכיתה ולתקן אותם במידת הצורך.
אפשר לתאר את הקשר הזה בטבלה:
שעות הכנה למבחן
ציון
1
50
2
60
3
70
4
80
5
85
6
90
7
93
8
96
9
98
10
100
הטבלה מתארת את הקשר בין מספר השעות שאלמד לבין הציון שסביר שאקבל.
כדאי להציג את הטבלה על הלוח, ולשאול את השאלות הבאות:
אם למדתי 4 שעות, כמה אקבל במבחן?
אם למדתי 10 שעות, כמה אקבל במבחן?
אם קיבלתי 85 במבחן, כמה שעות למדתי?
(חשוב לציין שזו רק דוגמה, והיא כמובן לא משקפת מציאות כללית. אפשר להגיד לתלמידים שהנתונים בטבלה מתאימים לתוצאות האפשרויות במבחן ספציפי עבור תלמיד ספציפי).
(כמו כן – הטבלה לא מכילה את כל הערכים האפשריים. מה אם למדתי 7.5 שעות? מה אם למדתי 0 שעות? מה אם למדתי 20 שעות? – אפשר לשאול את התלמידים מה דעתם יהיה הציון במקרים הללו – גם אם הם אינם כתובים בטבלה)
דוגמה נוספת: "שפת האם של אדם היא פונקציה של המדינה בה הוא נולד".
וגם את הפונקציה הזאת אפשר לתאר בטבלה:
המדינה
שפת האם של רוב האנשים שנולדו באותה מדינה
אנגליה
אנגלית
ישראל
עברית
צרפת
צרפתית
איטליה
איטלקית
ירדן
ערבית
מצריים
ערבית
ספרד
ספרדית
גרמניה
גרמנית
הטבלה כמובן אינה שלמה, אך היא מראה את הקשר בין ארץ הלידה לבין שפת האם של האדם.
(גם פה כמובן מדובר רק בפונקציה שמציינת מהי שפת האם עבור רוב האנשים שנולדים במדינה מסוימת. הרי יכול להיות אדם שנולד בישראל ושפת האם שלו היא ערבית, רוסית, אנגלית או כל שפה אחרת).
כדאי להציג את הטבלה על הלוח ולשאול את השאלות הבאות:
מהי שפת האם של רוב האנשים שנולדים באנגליה?
אם שפת האם של רוב האנשים במדינה מסוימת היא איטלקית – איזו מדינה זו?
אם שפת האם של רוב האנשים במדינה מסוימת היא ערבית – איזו מדינה זו? (בטבלה מוצגות שתי תשובות לשאלה זו...)
ניתן לתאר פונקציה גם כמו "מכונה" שמקבלת שאלה, או נתון, בצד אחד שלה, עושה חישוב או בדיקה כלשהם, ומוציאה תשובה, או נתון אחר, בצד השני שלה:
למשל, הנה טבלה שמתארת פונקציה שמקבלת שם של בעל חיים, ומוציאה את תוחלת החיים הממוצעת שלו:
שם בעל החיים
תוחלת חיים ממוצעת (בשנים)
ארנב
11
ברווז
15
גמל
40
דוב
28
זאב
13
זברה
22
חזיר
8
חתול
18
כלב
15
סוס
28
צב
75
תנין
40
הנתון המתקבל לפונקציה הוא שם בעל החיים, והנתון שיוצא מהפונקציה הוא תוחלת החיים הממוצעת (בשנים) של אותו בעל חיים. ניתן לצייר זאת כך:
כאן כדאי לשחק משחק עם התלמידים. לוקחים תלמיד אחד ואומרים לו "אתה הפונקציה".
התלמיד עומד מול הכיתה ומתפקד בתור "הפונקציה".
תלמיד אחר "שואל שאלה את הפונקציה", כמו למשל: "מהי תוחלת החיים הממוצעת של תנין?". או שאפשר פשוט להגיד לפונקציה: "תנין".
ה"פונקציה" מבצעת חישוב (במקרה זה – התלמיד פשוט בודק את התשובה בטבלה) – וכותב את התשובה את הלוח.
כדאי לחזור על כך מספר פעמים, עד שברורה פעולתה של הפונקציה.
כעת עושים משהו אחר – תלמיד מגיע ולוחש באוזן של ה"פונקציה" שם של בעל חיים. ה"פונקציה" רושמת את תוחלת החיים של אותו בעל חיים על הלוח, ושאר התלמידים צריכים לגלות מה היה בעל החיים שנלחש באוזנה של ה"פונקציה".
כאן מתגלה שוב תכונה חשובה של הפונקציה:
לפונקציה אין "התלבטות". כלומר, המכונה שמתארת את הפונקציה יודעת בדיוק מה תהיה התשובה עבור כל נתון שמתקבל אצלה. אין מצב בו תוחלת החיים הממוצעת של חתול, למשל, היא 18 או 20. לא. אם כך היה – לא הייתה זו פונקציה.
הפונקציה מוציאה תמיד נתון אחד ויחיד, ואין לה "כוח בחירה". היא פועלת לפי חוקים ברורים, או לפי טבלה מדויקת שמתארת את הקשר בין הנתונים.
הכיוון ההפוך אינו בהכרח "החלטי":
אם התלמיד המשחק את תפקיד הפונקציה רשם על הלוח את המספר 11, אנחנו יודעים בוודאות שמדובר ב"ארנב" (בהנחה שהטבלה מתארת את כל הערכים השונים שהפונקציה מטפלת בהם).
אולם אם ה"פונקציה" כתבה על הלוח את המספר 40 – אנחנו לא יכולים לדעת האם מדובר בגמל או בתנין. כי תוחלת החיים הממוצעת של שני בעלי חיים אלו היא 40 שנה.
ניתן כמובן לשאול שאלה כמו:
לאילו בעלי חיים תוחלת חיים של 40 שנה?
או בשפת הפונקציות:
עבור אילו ערכים שנכניס לפונקציה תתקבל התשובה "40 שנה"?
כדאי להבהיר שהמשתנה "שם בעל החיים" יכול לקבל ערכים שונים, כגון – "תנין", "זאב", "גמל" וכו'.
ושהמשתנה "תוחלת חיים ממוצעת" יכול לקבל גם הוא ערכים שונים כגון – 40, 15, 22 וכו'.
בהקשר של פונקציה ניתן גם להתייחס למונחים קלט ופלט.
קלט הוא ערך שנכנס אל הפונקציה ופלט הוא ערך שיוצא מהפונקציה.
למשל – "שם בעל החיים" הוא המשתנה המשמש כקלט של הפונקציה, ו"תוחלת החיים הממוצעת" הוא המשתנה המשמש כפלט של הפונקציה.
קלט הוא כמובן הנתונים שהפונקציה קולטת, ופלט הוא הנתונים שהפונקציה פולטת – או מוציאה:
כעת בואו נסתכל על פונקציה שבתור קלט מקבלת מספר שלם וחיובי כלשהו, ומוציאה כפלט את המספר העוקב שלו. טבלה שמתארת חלק מהפונקציה הזאת, תיראה כך:
קלט – מספר חיובי שלם כלשהו
פלט – המספר העוקב
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
11
11
12
12
13
אם אנחנו מחליטים שהפונקציה היא פשוט פונקציה שמתאימה לכל מספר שלם וחיובי את המספר העוקב שלו – אזי לא ניתן כמובן להכין טבלה שמכילה את כל הקשרים השונים של הפונקציה, מכיוון שיש אינסוף קשרים כאלה.
ניתן לשרטט זאת כך:
או בשפת המתמטיקה ניתן לכתוב זאת כך:
כלומר, במקום לכתוב במילים שהפונקציה מקבלת כקלט מספר שלם וחיובי כלשהו ומוציאה כפלט את המספר העוקב שלו, ניתן לכתוב שהפונקציה מקבלת מספר כלשהו שמסומן במשתנה X (תוך ציון ש-X הוא מספר טבעי – שלם וחיובי) ומוציאה כפלט את X + 1.
במתמטיקה אנחנו נותנים שמות לפונקציות תוך שימוש באותיות אנגליות קטנות – בדרך כלל משתמשים באות f (לציון function), ואז באותיות שבאות אחריה – g, h וכו'.
אז נניח שלפונקציה הנ"ל נקרא f, נוכל למעשה לשרטט זאת כך:
ואם נמציא פונקציה נוספת שמקבלת מספר כלשהו X ומוציאה את המספר הגדול ממנו פי 2, ולפונקציה הזאת נקרא g, נוכל לשרטט זאת בצורה הבאה:
קיימת דרך מקוצרת לרשום פונקציות במתמטיקה.
למשל את שתי הפונקציות הנ"ל אפשר לרשום בצורה הבאה:
f(x) = x + 1
g(x) = 2x
בואו נסתכל על f(x) = x + 1.
הסימון f(x) מציין שלפונקציה קוראים f ושהיא מקבלת כקלט מספר כלשהו X.
כלומר f(x) הוא למעשה - "הפונקציה f כשמכניסים אליה את המספר X"
והתוצאה היא כמובן X + 1.
וניתן לכתוב:
f(2) = 2 + 1 = 3
כלומר, הפונקציה f, כשמכניסים אליה את המספר 2, התוצאה היא 2 + 1 שזה 3.
f(6) = 6 + 1 = 7
ובאותה צורה - הפונקציה f, כשמכניסים אליה את המספר 6, התוצאה היא 6 + 1 שזה 7.
לסיכום, פונקציה היא ביטוי לקשר מיוחד בין שתי קבוצות של דברים. לקשר הזה יש תכונות שבלעדיהן לא נוכל לקרוא לקשר הזה "פונקציה".
מכאן ניתן להמשיך בלימוד "רגיל" של פונקציות, אך לא לפני שאנחנו מוודאים שהבסיס המתואר עד כאן מובן לחלוטין.
ניתן לתת דוגמאות נוספות רבות.
ניתן לבקש מהתלמידים לצייר פונקציות שונות כמכונות, ולשחק אחד עם השני - תלמיד אחד מכניס נתונים לפונקציה, ותלמיד שני מתפקד בתור הפונקציה עצמה - כשהוא מבצע את החישוב ואומר מהי תוצאת הפונקציה.
רוצה לקבל עדכונים כאשר מאמרים נוספים כאלה מתפרסמים? יש לך חבר/ה שמאמרים כאלה יכולים לעניין אותו/ה? נא למלא את הפרטים הבאים:
