חשבון פשוט באמת - פירוק לגורמים של ביטוי אלגברי- חלק א'

נושא: אלגברה
קורס: אלגברה בסיסית

שיעור: פירוק לגורמים של ביטוי אלגברי - חלק א'

גורם הוא דבר-מה שמשתתף בתרגיל כפל.
פעולת הכפל "פועלת" על שני מספרים שנקראים "גורמים".

בשפה מתמטית - "כפל" הוא אופרטור הפועל של שני "אופרנדים".
לשני האופרנדים הללו קוראים "גורמים".
יש הקוראים להם גם "כופל" ו"נכפל", אבל לא ניכנס לזה כעת.

כלומר "גורם" הוא דבר-מה שמשתתף בתרגיל כפל.

למשל:

30 = 5 • 6

אנחנו אומרים שניתן לפרק את 30 לגורמים 5 ו-6.

40 = 4 • 10

ואת 40 ניתן לפרק לגורמים 4 ו-10.

ניתן לפרק מספרים גם ליותר משני גורמים, כמו למשל:

40 = 4 • 2 • 5

ועוד....

הערה:
אם לומדים (או מלמדים) מתמטיקה כמו שצריך, לפי הסדר, עם הבנה אמיתית, ללא דילוגים, לא במטרה לעבור מבחנים, אלא במטרה באמת להבין כדי ליישם - אז אין צורך בדרך-כלל לחזור כל-כך לאחור.
אבל כאשר תלמיד לא יודע את ההגדרה למונח "גורם" ולא יודע איך מפרקים לגורמים מספרים שלמים, אז אין ברירה אלא לחזור לאחור ולהשלים את הפערים.

מה פירוש המילה "גורם" בעברית? באנגלית משתמשים במילה Factor (פקטור).
גורם הוא דבר-מה, שיחד עם גורמים אחרים, משפיע על תוצאה מסוימת.

למשל, אם אני יוצא להפלגה בים אז יש מספר גורמים שכדאי שאני אתחשב בהם - מזג האוויר, גובה הגלים, משך ההפלגה, מיומנות הצוות שלי ועוד.
לכל אחד מהגורמים הללו יש השפעה על התוצאה הסופית - שהיא ההפלגה עצמה.

אם אני מארגן מסיבה יש מספר גורמים שצריך לקחת בחשבון - כמה אנשים מוזמנים, מיהם האנשים האלה, היכן מתקיימת המסיבה, מה התקציב שיש לי ועוד.
שינוי של כל אחד מהגורמים הללו יכול להשפיע על התוצאה הסופית.

גם בחשבון, ה"גורמים" השונים משפיעים על התוצאה הסופית -
למשל, הגורמים 10 ו-7 מרכיבים יחד את המספר 70.

אלו הן כמובן שתי הגדרות שונות למילה גורם.

לחץ כאן לדף עבודה מס' 1 >>

ניתן בנקודה זו לדון גם בפירוק לגורמים ראשוניים.

בעוד שלמספר 30, למשל, יש מספר פירוקים אפשריים לגורמים:

30 = 5 • 6

30 = 10 • 3

30 = 15 • 2

יש לו רק פירוק אחד לגורמים ראשוניים:

30 = 2 • 3 • 5

ניתן כמובן לשנות את סדר הגורמים, עקב חוק החילוף של הכפל, אך הפירוק נשאר אותו פירוק.
ניתן לומר שהמספר 30 מורכב למעשה משלושה גורמים ראשוניים - 2, 3 ו-5.
אלו הם הגורמים הראשוניים שמרכיבים את המספר 30.

הערה:
אם התלמידים לא יודעים את ההבדל בין מספר "פריק" ומספר "ראשוני", כדאי ללמד נושא זה לפני שמתחילים ללמוד פירוק לגורמים.
שיעור מלא בנושא מספרים פריקים ומספרים ראשוניים - יהיה זמין בקרוב באתר.

לחץ כאן לדף עבודה מס' 2 >>

אז ראינו כיצד מפרקים לגורמים מספרים.

כעת, איך מפרקים לגורמים ביטוי אלגברי?

ביטוי אלגברי הוא סדרה של מספרים, נעלמים ופעולות המסודרים יחד בצורה הגיונית.
לביטוי אלגברי, שלא כמו לביטוי חשבוני, אין ערך מספרי.
ביטוי אלגברי יקבל ערך מספרי רק כאשר נציב מספר במקום הנעלם (או הנעלמים) שבו.

הערה:
בנקודה זו (לפני שלומדים לפרק ביטוי אלגברי לגורמים) לתלמיד אמורה להיות כבר הבנה טובה למדי של מהם ביטויים אלגבריים.
אם זה לא המצב, ונראה שהתלמיד מתקשה בהבנה בסיסית של מהם ביטויים אלגבריים. לכן, יש לחזור וללמד אותו ביטויים אלגבריים כמו שצריך, מההתחלה.

יש גם לוודא שהתלמיד מכיר את המונחים הקשורים לביטויים אלגבריים, וספציפית את המילים: איבר ו-לפשט.

שיעור מלא בנושא ביטויים אלגבריים, כולל כל ההגדרות, יהיה זמין בקרוב באתר.

נתחיל מביטויים אלגבריים פשוטים. למשל: 8x.
הביטוי 8x מורכב משני גורמים - 8 ו-x.
אולם כפי שניתן לפרק את המספר 8 לגורמים, ככה גם את הביטוי 8x ניתן לפרק לגורמים, למשל בצורה הבאה:

או:

(הרי 4x הם למעשה 4 • x).

דוגמה נוספת:
ניקח את הביטוי האלגברי:

6x²

x² הוא קיצור של x • x, ולכן ניתן לפרק את הביטוי 6x² למשל בצורה הבאה:

6x² = 6 • x • x

או שניתן לפרק את ה-6 ולא לפרק את ה- x²:

6x² = 2 • 3 • x²

ניתן גם לפרק את הביטוי הנ"ל "עד הסוף" בצורה הבאה:

6x² = 2 • 3 • x • x

לסיכום, אם נרצה לפרק את 6x² לשני גורמים נוכל לעשות זאת בצורות הבאות:

אלו הן חמש דרכים שונות בהן נוכל לפרק את הביטוי 6x² לשני גורמים.

הערה: כמובן שהפירוק של הביטוי 6x² לגורמים 6 ו- x² הוא מובן מאליו, אולם חשוב בכל זאת לציין אותו.

לחץ כאן לדף עבודה מס' 3 >>

הערה חשובה:

ניתן "לפרק" כל מספר או ביטוי אלגברי תוך שימוש בגורם הניטראלי 1.
1 הוא גורם ניטראלי מכיוון שהכפלה בו לא משנה דבר.

ניתן אזי לכתוב "פירוק לגורמים" גם בצורה הבאה:

5 = 5 • 1

10 = 10 • 1

5x = 5x • 1

וכו'...

זהו כמובן לא ממש "פירוק לגורמים" מכיוון שלמעשה לא פירקנו כאן שום דבר, אלא רק לקחנו את הביטוי או את המספר המקוריים וכפלנו אותם ב-1.
למרות זאת, יהיו לעקרון זה שימושים בהמשך הדרך.

פירוק לגורמים על-ידי הוצאת גורם משותף

איך נפרק לגורמים את הביטוי 3X + 6 ?

הביטוי 3X + 6 מורכב משני איברים: 3x ו-6.

ניזכר שאיבר הוא חלק של ביטוי חשבוני או אלגברי, שמופרד משאר הביטוי על-ידי פעולת חיבור או חיסור.

אז הביטוי 3X + 6 מורכב משני איברים.

האיבר הראשון - 3x - מורכב משני גורמים - 3 ו-x.
האיבר השני - 6 - הוא מספר שניתן לפרק אותו לשני גורמים - 3 ו-2.
ניתן לראות שהגורם 3 נמצא אם כן בשני האיברים,
ולכן ניתן למעשה "להוציא אותו מחוץ לסוגריים", תוך שימוש בחוק הפילוג.

מה קיבלנו?
קיבלנו ביטוי אלגברי שקול, המורכב משני גורמים.
גורם א' הוא 3.
גורם ב' הוא x+2.
גורם הוא כזכור מספר או ביטוי שמופיעים באחד משני צידיו של סימן הכפל.
ואכן:

וכך למעשה פירקנו לגורמים את הביטוי האלגברי 3X + 6

דוגמאות נוספות:

ניתן כמובן לוותר על סימן הכפל שבין שני הגורמים שהתקבלו, מכיוון שאם בין מספר או ביטוי לבין סוגריים (או בין מספר לנעלם) לא מופיע שום סימן, אזי הפעולה שלמעשה נמצאת ביניהם היא פעולת כפל.

בבקשה:

שימו לב!!!
תלמידים רבים פותרים תרגילים כאלה באופן אוטומטי לחלוטין מבלי להבין את משמעות ההוראה "פרק לגורמים את הביטויים הבאים...".
הם "מוציאים משהו מחוץ לסוגריים", וכלל לא מבינים שהפעולה שהם עושים נקראת "פירוק לגורמים" ומדוע.
חשוב מאוד לבנות את ההבנה הזאת ולהראות לתלמידים שעשויים להיות שני ביטויים שקולים שאחד מהם מוצג בצורה של חיבור בין שני איברים, והשני בצורה של כפל בין שני גורמים, כמו בדוגמה שלמעלה: